Սիրպինսկու գորգը: Թարգմանչական աշխատանք

Նյութի աղբյուրը տես այստեղ։

Թարգամնությունը տեղադրված է նաև Մաթեմատիկական ամսագիր 121 համարի թողարկման մեջ:

Եթե ​​քառակուսու կողմը եռապատկեք, ապա  նրա պարագիծը կեռապատկվի, իսկ մակերեսը  կմեծանա  3 ∙ 3 = 9 անգամ: Իսկ եթե ​​եռապատկեք խորանարդի կողը, ապա  դրա  ծավալը  կմեծանա  3∙3∙3=27 անգամ։

Օրինաչափությունը պահպանվում է ընդհանուր դեպքում.  k անգամ մեծացնելով երկչափ  պատկերի  կողմը, երկչափ  պատկերի  մակերեսը կմեծանա k∙k անգամ, իսկ եռաչափ մարմնի ծավալը՝ k∙k∙k անգամ, ընդ որում, 3×3    քառակուսին տրոհվում է 1×1 չափի  9 քառակուսու, իսկ   3×3×3 խորանարդը՝  1×1×1 չափի  27 խորանարդիկների (բայց դա  ոչ միշտ է տեղի ունենում. օրինակ գունդը  չի կարելի տրոհել   փոքր գնդերի):

Խնդիր 1.
Խորանարդը ա) 3×3×3, բ) 4×4×4, գ) 12×12×12 ընկղմել են  ներկի մեջ, այնուհետև տրոհել  են  միավոր խորանարդների:  Յուրաքանչյուր դեպքի համար  երեք, երկու կամ մեկ նիստը ներկած  քանի՞  միավոր խորանարդ  կլինի: Իսկ քանի՞ խորանարդ կլինի, որոնցում ոչ մի  նիստ  ներկված  չի լինի։

Խնդիր 2. 
Մեկ շաբաթում  ամենօրյա լվացքի դեպքում օճառի կտորի երկարությունը, լայնությունը  և  բարձրությունը փոքրացավ   2 անգամ։  Քանի՞ օր կբավականացնի  օճառի  մնացած կտորը:

Սիրպինսկու գորգը

Հարթության վրա կառուցենք պատկեր,  որը  3 անգամ մեծացնելու դեպքում  կազմված է ոչ թե 9, այլ  սկզբնական պատկերի (բնօրինակի) 8 պատճենից։ Դրա  համար քառակուսին տրոհենք 9 = 3∙3 քառակուսիների, որից հետո կտրենք  մեջտեղի  քառակուսին: Պատկերը  այժմ բաղկացած է 8 քառակուսուց, տես նկարը։

  
Բայց մենք ցանկանում ենք, որ   պատկերը   բաղկացած լինի  իր իսկ 8 պատճենից, իսկ  այն  անցքով քառակուսի է։ Դրա  համար կրկնենք գործողությունը  ութ քառակուսիներից  յուրաքանչյուրի  հետ՝ յուրաքանչյուրը  բաժանենք  3∙3 մասի, իսկ մեջտեղինը  հեռացնենք (դուրս նետենք), տես նկարը։

Պատկերը  կրկին բաղկացած  չէ  իր իսկ  պատճենից,  քանի որ փոքրիկ քառակուսիներում  անցքեր  չկան: Բայց այժմ  առաջին քայլում առաջացած  անցքին  համապատասխանում  են  երկրորդ քայլի  անցքերը: Կրկնենք գործողությունը  կրկին ու կրկին անգամ (անընդհատ), կստանանք ստորև նկարները։

Այս գործողությունը կատարենք անվերջ  թվով անգամ։ Կստացվի այսպիսի «ամենուր անցքերով քառակուսի» գորգ:

Այս պատկերն  անվանում են Սիրպինսկու գորգ կամ Սիրպինսկու քառակուսի: Այն  դժվար է պատկերացնել, քանի որ պարզ չէ, թե ինչ է նշանակում  «գործողությունը կրկնել անվերջ  թվով անգամ»: Գուցե հանկարծակի մենք հեռացրել ենք ընդհանրապես  բոլոր կետերը և գորգի փոխարեն  դատարկ  տեղ  է։   Պարզվում է՝ ոչ։ Դա հասկանալու համար  նշեք. եթե կետը հեռացվել է,  կարող եք նշել այն քայլի համարը, որի ժամանակ  դա տեղի է ունեցել:

Խնդիր 3.
Նշե՛ք  քառակու կետ, որը ոչ մի քայլում չի հեռացվել (դուրս չի նետվել): Այն  հստակ կպատկանի գորգին:

Այսպիսով, Սիրպինսկու գորգը  բաղկացած է ոչ թե 9-ը, այլ  ընդամենը իր երեք անգամ փոքրացված  8 պատճենից:

Սիրպինսկու գորգի մակերեսը

Սովորաբար երկարությունը չափում են կորերի համար,   մակերեսը  երկչափ պատկերների համար, իսկ  ծավալը մարմինների համար: Այժմ փորձենք հաշվել  Սիրպինսկու գորգի մակերեսը: Դրա մեջ ամենուր անցքեր են, դժվար է դրա մեջ առանձնացնել գոնե մեկ «ամբողջական» կտոր։ Փորձենք հաշվել, թե ինչպես է փոքրանում  պատկերի  մակերեսը քայլ առ քայլ գորգ կառուցելիս: Դրամ համար դիտարկենք այս խնդիրը։

Խնդիր 4.
Հաշվե՛ք ստորև պատկերված անցքերով քառակուսիների մակերեսը: Ամենափոքր քառակուսու կողմը համարելով  մեկ:
Տես նկարը.

Առաջին քայլ․ 9 քառակուսուց  հեռացվել է 1-ը՝ մեջտեղինը, ինչը նշանակում է, որ մենք թողել ենք սկզբնական քառակուսու մակերեսի 8/9 մասը։ 

Երկրորդ քայլ․ մենք կրկնեցինք տրոհումը   մնացած 8 քառակուսիներից յուրաքանչյուրի հետ, ինչը նշանակում է, որ մեծությամբ երկրորդ անցքերը հեռացնելուց հետո, կրկին թողել ենք  միայն նախորդ քայլից  մնացած մակերեսի 8/9 մասը: Այս փոքրացումը  կկրկնվի յուրաքանյուր  քայլում։ Արդեն վեցերորդ քայլից հետո կմնա քառակուսու մակերեսի կեսից քիչը, քանի որ (8/9)^6<1/2: 12-րդ քայլից հետո փոքր կլինի  ¼-ից և այպես շարունակ:  Մենք կարող ենք մակերեսը  դարձնել ցանկացած դրական  թվից փոքր: Դա նշանակում է, որ գորգի մակերեսը պետք է համարել զրոյական՝
9∙ 8/9 ∙ 8/9 ∙ 8/9 ∙…=0:

Միգուցե հնարավո՞ր  է չափել Սիրպինսկու գորգի եզրագծի  երկարությունը:

Խնդիր 5. Հաշվե՛ք  հետևյալ նկարում պատկերված յուրաքանչյուր պատկերի եզրագծի երկարությունը: Տես նկարը:

Ինչպես մակերեսի  դեպքում, հաշվենք   յուրաքանչյուր քայլում  եզրագծի երկարությունը։ Սկզբում այն ​​հավասար է քառակուսու պարագծին:

Առաջին քայլից հետո նրան  ավելանում   է  կենտրոնական քառակուսու պարագիծը։ Այնուհետև ութ քառակուսու պարագիծը,  որոնցից  յուրաքանչյուրը երեք անգամ փոքր է  առաջին քայլում հեռացվածից (դուրս նետվածից):  Տրոհված  քառակուսիների քանակը  յուրաքանչյուր քայլում  ավելանում է 8 անգամ։  Յուրաքանչյուր  տրոհված  քառակուսու պարագիծը  փոքրանում է ընդամենը 3 անգամ։ Սա նշանակում է, որ յուրաքանչյուր քայլում եզրագծի երկարության ավելացումը 8/3  անգամ մեծանում է: Իսկ բոլոր ավելացված երկարությունների գումարը կլինի  անվերջ  մեծ:

Այսպիսով, գորգի եզրագծի երկարությունը անվերջ է, իսկ իսկ գորգի մակերեսը՝ զրո:

Խնդիր 6.  Փորձեք ինքնուրույն գտնել նկարում ներկայացված   անցքերով պատկերի  մակերեսը, եզրագծի երկարությունը։
Տե՛ս նկարը: